Intuicyjnie wydaje nam się, że im zadanie matematyczne jest prostsze, tym wymaga od ucznia wykorzystania mniejszej liczby umiejętności. Co za tym idzie – aby diagnozować i trenować umiejętności złożone, powinniśmy stosować zadania trudne i złożone. Okazuje się jednak, że nie zawsze tak jest.

Przykładem zadania, które mimo bardzo prostej formy pozwala z jednej strony diagnozować, a z drugiej trenować sporo złożonych umiejętności matematycznych u najmłodszych uczniów, jest szacowanie na osi liczbowej. Wyobraźmy sobie bardzo proste matematyczne ćwiczenie. Na kartce czy ekranie komputera mamy wyświetlony odcinek, którego końce są podpisane liczbami 0 i 10 (albo 0 i 100). Jesteśmy proszeni o to, aby zaznaczyć na tym odcinku, gdzie znalazłaby się liczba 7. Już pierwszoklasiści nie mają większych problemów ze zrozumieniem, na czym polega to zadanie. Można natomiast zaobserwować bardzo duże różnice między dziećmi pod względem poprawności jego wykonania. Jak zaobserwował między innymi Robert Siegler, amerykański psycholog rozwojowy, poprawność wykonania tego zadania dość silnie wiąże się z poziomem bardziej złożonych umiejętności matematycznych. Co więcej, pozwala ono przewidywać poziom przyszłych umiejętności matematycznych danego ucznia.

W tym miejscu koniecznie trzeba zaznaczyć, że poziom wykonania tego zadania nie jest jedynym wyznacznikiem obecnych czy przyszłych umiejętności i nie można na jego podstawie formułować indywidualnej diagnozy danego dziecka.

Dlaczego zatem, pomimo tych ograniczeń, warto poświęcić mu chwilę uwagi? Jak pokazały badania Sieglera, zadanie to można w bardzo prosty sposób ćwiczyć – wystarczy po każdej odpowiedzi podać dziecku informację zwrotną dotyczącą tego, gdzie w rzeczywistości powinna się znaleźć dana liczba. Nawet bardzo krótki trening przynosi sporą poprawę.

Spróbujmy się przez chwilę zastanowić nad tym, dlaczego poprawność wykonania tego z pozoru prostego ćwiczenia tak mocno wiąże się z poziomem umiejętności matematycznych. Aby wykonać to zadanie poprawnie, musimy przeprowadzić szereg stosunkowo złożonych operacji. Po pierwsze, trzeba przekształcić podany interwał liczbowy na proporcję. Następnie ta proporcja liczbowa musi zostać przełożona na proporcję przestrzenną. Dopiero ta ostatnia jest zaznaczana przez dziecko jako odpowiedź. Przełożenie proporcji liczbowej na przestrzenną jest tym dokładniejsze im większą liczbę punktów odniesienia wykorzystamy. Podstawowymi punktami odniesienia są początek i koniec odcinka. Niemniej jednak wraz z rozwojem zaczynamy rozumieć, że można również wykorzystać „wirtualne” punkty odniesienia. Pierwszym takim punktem jest środek odcinka, potem zaczynamy uwzględniać również połówki tej „wirtualnej” połowy. Przykładowo, mając oznaczyć liczbę 6, możemy uznać, że jest to trochę więcej niż połowa (przełożenie interwału liczbowego na proporcję). Następnie, aby oznaczyć liczbę na odcinku, możemy wyobrazić sobie, gdzie jest jego środek i jak jest w stosunku do niego położony punkt, który mamy zaznaczyć.

Operacje tutaj omówione są dość złożone i na pewno wykraczają poza poziom matematyki formalnie nauczanej na początku szkoły podstawowej. Jednak mimo to, można je trenować już na wczesnym etapie kształcenia i dzięki temu przybliżyć uczniów do głębszego rozumienia liczb i samej matematyki. Zatem warto poświęcić temu ćwiczeniu kilka chwil podczas zajęć.